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美式期權的三種定價原理是什么

因為沒有一個合適的隨機過程來形容標的價格的波動過程,期權就沒有一個好的定價模型。直到1973年,Black與Scholes兩位學者假設標的價格變動過程符合幾何布朗運動,并將其運用于歐式期權定價,從此期權市場迅速發展。但和歐式期權不一樣,美式期權沒有明確的表達式,目前僅僅只能通過數值方式進行求解。從數值求解的角度,主要將其分為三類:網格分析法、有限差分法、蒙特卡羅模擬法。

(1)網絡分析法

網絡分析法的主要思想是:在風險中性前提下,將標的資產符合的隨機過程進行離散化處理,再用動態規劃對其進行求解,獲得標的資產衍生品的價格。

目前網絡分析法具體可分為二叉樹法、三叉樹法,以及更多分枝的模型。最早,Cox, Ross和Rubinstein提出了CRR模型,將二叉樹方法運用于期權定價中。

在運用CRR模型過程中,發現該方法具有震蕩收斂的特性,尤其在對美式期權價格估計時收斂速度相當緩慢。加速的二叉樹法由Breen提出,該方法在收斂速率上有所提高。Broadie, Detemple提出了BSS方法和BBSS方法,BSS方法主要是針對二叉樹方法,BBSS方法則是將外推方法應用于BSS方法中。Parkinson首次提出三叉樹法,Kamradt對該方法進一步做了推導。Hull將三叉樹方法運用于Vasicek中,并取得了良好的估計效果。

網格分析法可以對美式期權進行定價分析,但其震蕩收斂的特性使其難以運用到高維的情況下。一旦時間節點數增多,樹的分枝數將會呈現出指數爆炸狀態。雖然之后有很多改進模型,但仍然難以改變這一根本性缺點。

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(2)有限差分法

有限差分法的主要思想是:將衍生品滿足的微分方程變換轉化成為差分方程,再用迭代的方式對差分方法進行求值。

Brennan和Schwartz初次使用有限差分方法到期權定價中。Marchuk,Shaidurov最先將Richardson的相關外推技術用到了有限差分方法中去。有限差分法可以很好的應用于歐式期權和美式期權定價中去,但是該外推方式的效用完全取決于單個離散參數的展開,在維數增大時,計算量極大,該問題也很難克服。

(3)蒙特卡羅模擬法

蒙特卡羅法的主要思想為:在某一隨機分布的樣本空間中進行抽樣,再對樣本求平均值,用隨機空間樣本期望代替總體期望。

最早,由Boyle提出了使用蒙特卡羅模擬方法對期權進行定價。他進一步還提出了使用方差減少方法來提高模擬的效率。根據實證分析,蒙特卡羅模擬方法對歐式期權的定價求值十分有效。但對于美式期權,因為它是需要向后迭代搜索的,這使得蒙特卡羅模擬法沒辦法直接解決該定價問題。對于美式期權,B arraquand ,Martineau將標的資產價格的每個狀態進行分隔,得到每一條路徑在各個區域互相移動的概率,然后采用類似于網格分析法的方法進行逆向求解。Broadie ,Glasserman, Jain提出了兩個估計的方法,得到兩個估計值,以用來估計期權的信賴區域。

以上兩個方法一定程度上解決了美式期權的數值解,但在實際運用中,效果并不是很理想。Longstaff, ?Schwartz對美式期權解法提出了最小二乘蒙特卡洛模擬法。由于該方法的有效性,其對于美式期權己經成為最流行的定價方法。(文/墨白)

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